Ta có thể chứng minh IQ luôn đi qua một điểm cố định bằng cách sử dụng định lí Pappus.

Gọi E là giao điểm của CP và AB, F là giao điểm của PQ và CI.

Theo định lí Pappus, ta cần chứng minh rằng các điểm A, F và E thẳng hàng.

Ta có:

• Góc AOB là góc đối diện với cung AB, nên đường thẳng AB chính là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm B.
• Từ đó suy ra góc AIB = 90 độ.
• Vì D là trung điểm của cung lớn AB, nên AD = DB và góc ADB = góc ABD.
• Khi đó, ta có: góc AKI = góc ABI + góc AIB + góc BIK = góc ABD + 90 độ + góc BIK.
• Tương tự, ta có: góc CKI = góc CIB + góc AIB + góc BIK = góc CIB + 90 độ + góc BIK.
• Như vậy, góc AKI + góc CKI = 180 độ + góc ABD + góc CIB.
• Nhưng góc ABD + góc CIB = góc ACD, vì ACID là tứ giác nội tiếp.
• Vậy góc AKI + góc CKI = 180 độ + góc ACD.
• Nhưng góc ACD là góc giữa tia CP và đường tròn (O), nên không đổi khi (O) thay đổi vị trí.
• Do đó, ta có góc AKI + góc CKI là một hằng số không đổi khi (O) thay đổi vị trí.
• Nhưng góc AKI + góc CKI = 180 độ, nên góc AKI và góc CKI cũng là các hằng số không đổi khi (O) thay đổi vị trí.
• Vì I là điểm trên đường tròn (O), nên nó là một điểm cố định.
• Khi đó, ta có thể sử dụng định lí Pappus để kết luận rằng các điểm A, F và E thẳng hàng, và do đó IQ luôn đi qua một điểm cố định.