a) Chứng minh rằng tứ giác AEHF và BFEC nội tiếp đường tròn:
- Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), nên góc BOC = 2∠BAC, góc BOC là góc nội tiếp tương ứng với cung BC trên đường tròn (O).
- Do đó, góc BOC = ∠BHC (cùng nằm trên cung BC).
- Ta cũng có góc BOC = ∠BEC (do BFEC là tứ giác nội tiếp).
- Từ đó, ta suy ra góc BHC = ∠BEC.
- Tương tự, chứng minh được góc BAC = ∠FEA (do AEHF là tứ giác nội tiếp).

Vậy, tứ giác AEHF và BFEC nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh góc ESF bằng góc BOC và hai tam giác ESF; BOC đồng dạng:
- Ta có góc BOC = ∠BHC (cùng nằm trên cung BC).
- Gọi S là trung điểm của AH. Vì SA = SH (do S là trung điểm), nên tam giác ASF và HSE là tam giác cân.
- Do đó, góc ESH = ∠ESF.
- Ta cũng có góc BHC = ∠BEC (do tứ giác BFEC nội tiếp).
- Vậy, góc ESF = góc ESH = ∠BHC = ∠BOC.

Hai tam giác ESF và BOC có một góc bằng nhau, do đó chúng đồng dạng.

c) Chứng minh SM vuông góc với EF:
- Gọi M là trung điểm của BC. Ta có OM vuông góc với BC (do M là trung điểm), và ta cần chứng minh SM vuông góc với EF.
- Vì tam giác ASF và HSE là tam giác cân, nên góc ESH = góc ESA = góc FSA.
- Từ đó, góc FSE = góc FSA + góc ESA = góc ESH + góc ESA = 180° - ∠BAC.
- Vì tứ giác AEHF nội tiếp, nên góc EHF = 180° - ∠BAC.
- Do đó, góc FSE = góc EHF.
- Vì góc FSE = góc EHF, ta suy ra tam giác FSE và EHF đồng dạng.
- Vì hai tam giác đồng dạng có các góc tương ứng bằng nhau, nên góc FES = góc FHE.
- Góc FHE là góc giữa hai tiếp tuyến EH và HF

 của đường tròn nội tiếp tứ giác AEHF.
- Do đó, góc FES = góc FHE = 90°.

Vậy, SM vuông góc với EF.