a) Để chứng minh tứ giác MAHO nội tiếp, ta cần chứng minh góc MHO bằng góc MAO.

Vì MA và MB là hai tiếp tuyến từ M đến đường tròn (O), theo định lý Euclid về tiếp tuyến, ta có:
góc MAO = góc MBA.

Tương tự, ta có:
góc MHO = góc MDA.

Từ cung CA nhỏ hơn cung CB, ta có:
góc MDA < góc MBA.

Kết hợp các phương trình trên, ta có:
góc MHO < góc MAO.

Do đó, tứ giác MAHO là tứ giác nội tiếp.

b) Để chứng minh MH.MK = MC.MD, ta sẽ sử dụng định lý Euclid về tiếp tuyến và các quan hệ đồng dạng.

Vì AC là cung nhỏ hơn AB, ta có:
góc CMA < góc CBA.

Do đó, góc MCA > góc MBA.

Từ đó, ta có tam giác MCA và MCB đồng dạng (cùng có góc vuông MCA và MCB).

Từ đồng dạng tam giác, ta có:
MC/MA = MB/MC.

Từ đó, ta có:
MC^2 = MA.MB.

Vì H là trung điểm của CD, ta có:
CH = HD.

Do đó, ta có tứ giác MCHD là tứ giác đồng dạng (cùng có cạnh HD và CH).

Từ đồng dạng tứ giác, ta có:
MH/MD = MC/CH.

Kết hợp với MC^2 = MA.MB, ta có:
MH/MD = MC/CH = MC/(MC + CH) = MC/(MC + HD).

Ta biết rằng K là giao điểm của AB và CD. Vì vậy, ta có:
MK/CK = MA/AC = MB/BC.

Từ đồng dạng tứ giác, ta có:
MK/CK = MC/CH.

Kết hợp với MH/MD = MC/CH, ta có:
MH.MK = MC.MD.

Do đó, MH.MK = MC.MD.

c) Để chứng minh F là trung điểm của BM, ta sẽ sử dụng các quan hệ giữa các đường thẳng song song và đường chéo trong tứ giác.

Theo đề bài, đường thẳng qua C song song với MB cắt AB tại E.

Vì CE || MB, ta có:
góc ECB = góc CBA.

Do đó, góc ECB = góc EAB.

Vì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp, ta có:
góc EAB = góc BCD.

Từ đó, ta có:
góc ECB = góc BCD.

V

ậy tứ giác ECBM là tứ giác đồng dạng (có hai góc tương đương nhau).

Do đó, ta có:
EC/BC = BC/MC.

Từ đồng dạng tứ giác, ta có:
EC/AC = BC/MC.

Vậy tứ giác ACEM là tứ giác đồng dạng (có hai cạnh tương đương nhau).

Do đó, ta có:
AE/CE = MC/ME.

Vì E là trung điểm của AC, ta có:
AE = EC/2.

Do đó, ta có:
EC/CE = MC/ME.

Từ đó, ta có:
1 = MC/ME.

Từ đó, ta có:
MC = ME.

Vậy F là trung điểm của BM.