a) Chứng minh: tứ giác AHEK nội tiếp và tam giác CAE đồng dạng với tam giác CHK.
- Vì đường tròn (O;R) có đường kính AB vuông góc với dây MN tại H, ta có ∠AHB = 90°.
- Khi AC cắt đường tròn (O;R) tại điểm K khác A, ta có ∠ACK = ∠AKB (cùng nằm trên cùng một cung AK).
- Do ∠ACK = ∠AKB và ∠ACK = ∠CAK (do AK là dây cắt đường tròn tại K), nên ta có ∠CAK = ∠AKB.
- Từ đó, ta có tam giác CAK đồng dạng với tam giác AKB (do có hai góc tương ứng bằng nhau).
- Khi MN và BK cắt nhau tại E, ta có ∠KEH = ∠AEM (cùng nằm trên cùng một dây EM).
- Từ đó, suy ra tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp (do có tứ giác nội tiếp AEMK).
- Xét tam giác CAE và tam giác CHK:
  + Tam giác CAE và tam giác CHK có ∠CAE = ∠CHK (vì đồng dạng).
  + Vì ∠CAE = ∠CHK và ∠CAK = ∠CKH (do tam giác CAK đồng dạng với tam giác AKB), nên ta có ∠CKH = ∠CHK.
- Từ đó, ta có tam giác CAE đồng dạng với tam giác CHK.

b) Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC và cắt tia MK tại F.
- Gọi G là giao điểm của đường thẳng NF với đường tròn (O;R) (khác điểm N).
- Khi kẻ đường thẳng NF, ta có NF là đường cao của tam giác ANK (vì N nằm trên đường thẳng NF).
- Do đó, ta có ∠ANK = ∠ANF = 90°.
- Vì ∠ANK = ∠ANF = 90° và AK là cạnh chung của hai tam giác ANK và ANF, nên ta có tam giác ANFK cân (cạnh NK bằng cạnh NF).

c) Giả sử KE = KC. Chứng minh: OK || MN.
- Vì KE = KC, ta có ∠KCE = ∠KEC.
- Từ tam giác CAK đồng dạng với tam giác AKB, suy ra ∠KCE = ∠AKB.
- Vì ∠KCE = ∠AKB và ∠KCE = ∠KEC, nên ta có ∠KEC = ∠AKB.
- Khi có hai g

óc cùng bằng và nằm ở hai cạnh đối diện của một tứ giác, ta có tứ giác đó là tứ giác lồi.
- Do đó, ta có tứ giác KECH là tứ giác lồi.
- Trong tứ giác KECH, ta có hai góc KHE và KEC nằm ở hai cạnh đối diện, từ đó suy ra KH || EC.
- Vì KH || EC và EC || OB (do AC và OB là hai đường chéo của hình bình hành ABCE), nên ta có KH || OB.
- Cuối cùng, ta có OK || MN do OK và MN là hai đường thẳng vuông góc với cạnh chung OB và cùng phía với nhau.

Vậy, ta đã chứng minh được OK || MN khi giả sử KE = KC.