1. Ta có:
   $$\angle AED = \angle AEB + \angle BED = \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ - \angle ABC,$$
   và
   $$\angle ABD = \angle ABE + \angle EBD = \angle ACB + \angle BCA = 180^\circ - \angle ABC.$$
   Do đó, tứ giác $ABDE$ là tứ giác nội tiếp đường tròn.

2. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó, ta có $OM \perp BC$ và $AM = OM$, suy ra tam giác $ABM$ đồng dạng với tam giác $OBC$.

Từ đó, ta có:

$$\angle CBH = \angle ABC - \angle ABD = \angle ABC - \angle AMB = \angle OBC - \angle AOB = \angle KCB,$$
và
$$\angle HCB = \angle ACB - \angle ACH = \angle ACB - \angle AOC = \angle OCB = \angle KHB.$$

Do đó, tứ giác $BHCK$ là hình bình hành.