a) Để chứng minh ADHE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng AD // HE và AD = HE.

Ta có:
∠DAH = ∠DEH = 90° (vì AD và HE là hình chiếu của điểm A lên BC và của H lên AB)
∠DAE = ∠DEA = 90° (vì AD và HE lần lượt vuông góc với AC và AB)

Từ đó, ta suy ra rằng tứ giác ADHE là tứ giác có 4 góc vuông, tức là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh AB.EB + AC.EH = AB^2, ta sẽ sử dụng định lí Pythagoras và tính chất của hình chữ nhật ADHE.

Ta có:
AD = HE (vì ADHE là hình chữ nhật)
AB^2 = AD^2 + DB^2 (định lí Pythagoras trong tam giác vuông ADB)
AC^2 = AE^2 + EC^2 (định lí Pythagoras trong tam giác vuông AEC)

Nhân cả hai phương trình trên với AB và AC tương ứng, ta có:
AB^2.AC^2 = AD^2.AB^2 + AB^2.DB^2
AC^2.AB^2 = AC^2.AE^2 + AC^2.EC^2

Cộng hai phương trình trên, ta có:
AB^2.AC^2 + AC^2.AB^2 = AD^2.AB^2 + AB^2.DB^2 + AC^2.AE^2 + AC^2.EC^2

Rút gọn phía bên phải của phương trình, ta có:
AB^2.AC^2 + AC^2.AB^2 = AB^2.(AD^2 + DB^2) + AC^2.(AE^2 + EC^2)

Vì AD^2 + DB^2 = AH^2 = HE^2 (do ADHE là hình chữ nhật)
Và AE^2 + EC^2 = AH^2 = HE^2 (do ADHE là hình chữ nhật)

Nên ta có:
AB^2.AC^2 + AC^2.AB^2 = AB^2.HE^2 + AC^2.HE^2
AB^2.AC^2 + AC^2.AB^2 = (AB^2 + AC^2).HE^2

Vì AB^2 + AC^2 = BC^2 = (2R)^2 = 4R^2

Nên ta có:
AB^2.AC^2 + AC^2.AB^2 = 4R^2.HE^2

Mà ta đã chứng minh được ADHE là hình chữ nhật, nên HE = AD = BC/2 = R

Vậy:
AB^2.AC^2 + AC^2.AB^2 = 4R^2.R^2 = 4R^4

Từ đó suy ra:
AB.EB + AC.EH = AB^2

Vậy, ta đã chứng minh được AB.EB + AC.EH = AB^2.

a) Để chứng minh ADHE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh các cạnh AD và HE vuông góc và có độ dài bằng nhau.

Ta có:
- AD là hình chiếu của H lên AC, do đó, AD vuông góc với AC.
- HE là hình chiếu của A lên BC, do đó, HE vuông góc với BC.
- Vì BC là đường kính nửa đường tròn, nên BC vuông góc với AC tại H.
- Từ đó, ta có AD và HE là hai đường thẳng vuông góc cùng với cùng một đường thẳng BC, do đó, AD và HE song song và có độ dài bằng nhau.

Vậy, ta đã chứng minh được ADHE là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh AB.EB + AC.EH = AB^2, ta sẽ sử dụng định lý đường cao trong tam giác vuông.

Theo định lý đường cao, ta có:
- Trong tam giác vuông ABH, cạnh AB là đường cao kẻ từ góc vuông H.
- Trong tam giác vuông ACH, cạnh AC là đường cao kẻ từ góc vuông H.
- Vì vậy, AB.EB = AC.EH.

Do đó, ta có: AB.EB + AC.EH = AB.EB + AB.EH = AB.(EB + EH) = AB^2.

Vậy, ta đã chứng minh được AB.EB + AC.EH = AB^2.