a, Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân tại A.

- Do tam giác ABC cân tại A nên ta có AB = AC (1)
- Vì BD = CE nên ta có AB + BD = AC + CE (2)
- Từ (1) và (2), ta có AD = AE.
- Vậy tam giác ADE là tam giác cân tại A.

b, M là trung điểm BC. Chứng minh AM là phân giác góc DAE và AM vuông góc DE.

- Do M là trung điểm của BC nên MB = MC. Vì AB = AC (do ABC là tam giác cân) nên theo định lý Stewart ta có AM là trung tuyến của tam giác ADE.
- Đặt góc MAD = α và góc ADE = β. Do tam giác ADE là tam giác cân nên α = β. Vì vậy, góc MDA = góc DEA = α + β = 2α. Vậy AM là phân giác của góc DAE.
- Do AM là trung tuyến nên DE là đường trung bình trong tam giác AMB và AMC. Vì vậy, AM vuông góc DE.

c, Kẻ BH vuông góc AD, CK vuông góc AE, chứng minh BH= CK.

- Do ABC là tam giác cân tại A nên góc BAC = góc CAB. Vì BH vuông góc với AD và CK vuông góc với AE, góc ABH = góc ACK.
- Do AB = AC (do ABC là tam giác cân) và AH = AK (do AD = AE) nên tam giác ABH và tam giác ACK là tam giác đồng dạng. Vì vậy, BH = CK.

d, Chứng minh HK song song BC.

- Do ABC là tam giác cân tại A nên góc BAC = góc CAB. Vì BH vuông góc với AD và CK vuông góc với AE, góc ABH = góc ACK. 
- Vì vậy, góc BHK = góc CKH.
- Do BH = CK (đã chứng minh ở phần c) nên tam giác BHK và tam giác CKH là tam giác đồng dạng. Vì vậy, HK song song BC.