a) Chứng minh:

Vì tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp, ta có:
∠HAK = ∠HCK (cùng nằm trên cung HK của đường tròn (O))
∠HAC = ∠HKC (cùng nằm trên cung HC của đường tròn (O))

Ta cũng có:
∠CAN = ∠CBA (cùng nằm trên cung CB của đường tròn (O))
∠MAN = ∠MBA (cùng nằm trên cung MA của đường tròn (O))

Vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật, nên AB // CD và AD // BC.
Do đó, ta có:
∠CAN = ∠MBA (cùng nằm trên hai đường thẳng song song)
∠MAN = ∠CBA (cùng nằm trên hai đường thẳng song song)

Từ các quan sát trên, ta có:
∠HAK = ∠HCK
∠HAC = ∠HKC
∠CAN = ∠MBA
∠MAN = ∠CBA

Khi hai góc tương đương bằng nhau, ta có:
∠HAK + ∠CAN = ∠HCK + ∠MBA
∠HAC + ∠MAN = ∠HKC + ∠CBA

Tổng hai góc bằng hai góc có tổng bằng 180 độ, ta có:
∠HAK + ∠CAN + ∠HAC + ∠MAN = ∠HCK + ∠MBA + ∠HKC + ∠CBA
(∠HAK + ∠HAC) + (∠CAN + ∠MAN) = (∠HCK + ∠HKC) + (∠MBA + ∠CBA)

Do đó:
∠HAC + ∠CAN = ∠HKC + ∠MBA
(∠HAC + ∠CAN) - ∠HAC = (∠HKC + ∠MBA) - ∠HAC
∠CAN = ∠MBA

Từ đó suy ra:
∠HAC = ∠HKC

Vậy, ta đã chứng minh rằng tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: AD.AN = AB.AM

Ta có:
∠CAN = ∠MBA (cùng nằm trên hai đường thẳng song song)
∠HAC = ∠HKC (chứng minh từ phần a)

Do đó, hai tam giác CAN và MBA đồng dạng và hai tam giác HAC và HKC đồng dạng theo góc.

Áp dụng định lí đồng dạng tam giác có góc chung, ta có:
AD/AB = AN/AM = AC/AH = CN/MH

Nhân hai vế bằng AM và sắp xếp lại, ta có:
AD.AN = AB.AM

Vậy, ta đã chứ