Để giải các câu hỏi trong bài toán, ta sẽ sử dụng các thuộc tính và định lý về các hình học đường tròn và tiếp tuyến. Dưới đây là giải thích từng câu hỏi:

a) Chứng minh: PAMEF = 2MP

Ta có thể chứng minh điều này bằng cách sử dụng định lý về tiếp tuyến và góc chắn:

Vì MP và MQ là hai tiếp tuyến từ M đến đường tròn (O), ta có:
∠POM = ∠MQO = 90 độ (góc vuông)
∠POM = ∠PMO (cùng chắn cung PM)
∠MQO = ∠MQO (cùng chắn cung MQ)

Do đó, tam giác POM và tam giác MQO là tam giác vuông cân.
Vì tam giác vuông cân có các cạnh góc vuông bằng nhau, ta có:
PO = PM và QO = QM

Vì vậy, tứ giác PAME và tứ giác MQEF là các hình bình đẳng (các cạnh tương đương và các góc tương đương).
Và tứ giác PAMEF là tứ giác điều hòa (hình bình đẳng và cạnh chéo cắt nhau làm góc phân giác).

Như vậy, ta có: PA/MA = EA/MA = EF/MF = PF/MF.

Theo bài toán, ta đã biết rằng PA = PF và MA = ME.
Do đó, ta có: PA/MA = PF/ME.
Từ đó, ta suy ra: PA/MA = EF/MF.

Từ công thức trên, ta có: PA/MA = EF/MF = 1.

Vậy, ta kết luận rằng: PAMEF là tứ giác điều hòa và cạnh chéo MF cắt nhau tại điểm trung điểm của cạnh PA (điểm M).
Theo định nghĩa của tứ giác điều hòa, ta có: PAMEF = 2MP.

b) Chứng minh: EOF + OMP = 90 độ

Theo giả thiết, tam giác POM là tam giác vuông cân (vì MP là tiếp tuyến và góc chắn).
Do đó, ta có ∠POM = 90 độ.
Từ đó, ta suy ra ∠EOF + ∠OMP = 90 độ (vì ∠POM + ∠EOF = ∠POM + ∠MQO = 90 độ).

Vậy, ta kết luận rằng: ∠EOF + ∠OMP = 90 độ.

c) Chứng minh: NO là phân giác của ∠HNK

Để chứng minh điều này, ta s

ẽ sử dụng định lý về tiếp tuyến và góc chắn:

Vì EF là tiếp tuyến từ điểm E đến đường tròn (O), ta có:
∠EOF = ∠EFM (cùng chắn cung EM)
Vì EF là tiếp tuyến từ điểm F đến đường tròn (O), ta có:
∠FOE = ∠EFP (cùng chắn cung FP)

Do đó, ta có:
∠EOF + ∠FOE + ∠EFP = ∠EFM + ∠EFP + ∠EFP = ∠EFM + 2∠EFP

Từ định lý về giao của tiếp tuyến và tiếp tuyến ngoại tiếp (giao tiếp tại điểm M), ta biết rằng góc giữa hai tiếp tuyến là góc phân giác của cung ngoại tiếp.
Vì vậy, ∠EFM là góc phân giác của cung NK (do NO là tiếp tuyến từ điểm N đến đường tròn (O)).
Do đó, ta có:
∠EOF + ∠FOE + ∠EFP = ∠EFM + 2∠EFP = ∠HNK + 2∠HFP.

Nhưng theo giả thiết, ta đã biết rằng EH // OF và FK // OE (do hạ EH LOF và FK LOE).
Do đó, ta có:
∠HFP = ∠FOE và ∠HFP = ∠EOF.

Từ đó, ta có:
∠EOF + ∠FOE + ∠EFP = ∠HNK + 2∠HFP = ∠HNK + 2∠EOF.

Từ công thức trên, ta suy ra: ∠EOF + ∠FOE + ∠EFP = ∠HNK + 2∠EOF.
Vậy, ta kết luận rằng: NO là phân giác của ∠HNK.

d) Chứng minh: 4 điểm P, Q, H, K thẳng hàng

Theo câu (c), ta đã chứng minh được rằng NO là phân giác của ∠HNK.
Do đó, theo định lý về phân giác, ta biết rằng điểm N nằm trên đường thẳng PQ, và NO chia góc HNK thành hai góc bằng nhau.
Vậy, ta kết luận rằng 4 điểm P, Q, H, K thẳng hàng.