Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng một số định lí và quy tắc trong hình học.
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp:
- Ta có MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O). Theo định lí tiếp tuyến, góc MOA và MBO là góc vuông.
- Từ đó, ta có tứ giác MAOB có 4 góc vuông, tức là nội tiếp trong một đường tròn.
- Để tính cạnh AC, ta sử dụng định lí hình thang:
  Trong hình thang MAOC, ta có tứ giác MAOB nội tiếp, nên góc BMA = góc MOA = 90 độ.
  Vì sin 60 độ = AB/AC, và AB = MC + AC.
  Khi đó, ta có sin 60 độ = (MC + AC)/AC.
  Giải phương trình này, ta tính được AC.

b) Chứng minh MC.MD = MH.MO:
- Ta có tứ giác MAOB nội tiếp trong một đường tròn.
- Áp dụng định lí Euclid, ta biết rằng trong một đường tròn, các tiếp tuyến từ một điểm bên ngoài đều có tích bằng nhau.
- Vì vậy, ta có MA.MB = MC.MD.
- Đồng thời, ta biết rằng tứ giác MAHB nội tiếp trong một đường tròn.
- Từ đó, ta có MA.MB = MH.MO.
- Vì vậy, ta có MC.MD = MH.MO.

c) Chứng minh OP = OQ:
- Ta biết rằng OP là đường kính của đường tròn (O).
- Cây dây IC, ID cắt MO tại P và Q.
- Vì A, C, O, D cùng thuộc một đường tròn, nên MO là đường kính của đường tròn.
- Vì vậy, ta có OP = OQ.

Đây là một phần giải đáp dựa trên hình vẽ và các giả định. Để có một giải thích chi tiết và chính xác hơn, cần có hình vẽ minh họa và các giả thiết cụ thể hơn.