a. Từ định nghĩa đường cao trong tam giác vuông, ta có:

AH là đường cao của tam giác ABC vuông tại A

Do đó, cần tính độ dài AH.

Giả sử BC = a (với a > 0). Khi đó ta có:

• Diện tích tam giác ABC: S_ABC = 1/2 * AB * AC = 1/2 * 3 * sqrt(a^2 - 4)
• Diện tích tam giác ABC: S_ABC = 1/2 * BC * AH = 1/2 * a * AH

Vì hai công thức trên phải cho kết quả bằng nhau, nên ta có:

1/2 * 3 * sqrt(a^2 - 4) = 1/2 * a * AH

Suy ra:

AH = 3 * sqrt(a^2 - 4) / a

Với AB = 3 cm và BH = 2 cm, ta có:

AC = sqrt(AB^2 + BC^2) = sqrt(9 + a^2)

Từ đó, ta tính được a:

BH / BC = AB / AC

2 / a = 3 / sqrt(9 + a^2)

Suy ra:

a = 6/5

Do đó, ta tính được AH:

AH = 3 * sqrt((6/5)^2 - 4/5) / (6/5) = 9/5 cm

b. Vì AK = 1/2 AB, ta có:

BK = AB - AK = 2AB = 6 cm

Do đó:

sin(BCK) = BK / BC = 6 / sqrt(9 + a^2) = 6 / sqrt(81/25 + 24/25) = 6 / sqrt(105/25) = 2 sqrt(15) / 5

Suy ra:

BCK = arcsin(2 sqrt(15) / 5) ≈ 70.53 độ (với giả thiết rằng góc BCK nằm trong khoảng 0 độ đến 90 độ).