Để chứng minh phương trình đã cho có luôn có nghiệm, ta cần tìm điều kiện để delta (Δ) của phương trình lớn hơn hoặc bằng 0. Delta được tính bằng công thức: Δ = b^2 - 4ac.

Trong phương trình đã cho: x² - 2(m+1)x + m - 4 = 0
a = 1, b = -2(m+1), c = m - 4

Áp dụng công thức tính delta, ta có:
Δ = (-2(m+1))^2 - 4(1)(m-4)
   = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m - 4)
   = 4m^2 + 8m + 4 - 4m + 16
   = 4m^2 + 4m + 20

Để chứng minh phương trình có nghiệm, ta cần chứng minh rằng Δ ≥ 0.

4m^2 + 4m + 20 ≥ 0

Để giải bất phương trình này, ta chuyển về dạng đại số bằng cách chia cả hai vế cho 4:

m^2 + m + 5 ≥ 0

Để giải bất phương trình bậc 2 này, ta có thể sử dụng định lí:

Nếu phương trình bậc 2 ax^2 + bx + c ≥ 0 có delta (Δ) ≤ 0, thì phương trình luôn có nghiệm.

Trong trường hợp này, Δ = b^2 - 4ac = 1 - 4(1)(5) = -19 < 0.

Do Δ < 0, nên phương trình m^2 + m + 5 ≥ 0 luôn đúng với mọi giá trị của m.

Vậy, phương trình x² - 2(m+1)x + m - 4 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.