Để chứng minh các câu trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của đường tròn và các tam giác đồng quy.

a) Chứng minh A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn:
Ta có:
∠ABO = 90° (tiếp tuyến AB là vuông góc với đường tròn tại điểm B)
∠ACO = 90° (tiếp tuyến AC là vuông góc với đường tròn tại điểm C)
∠OAB = ∠OCB (góc ở tâm đo bằng nửa góc ở ngoại tiếp)
∠OBA = ∠OCA (góc ở tâm đo bằng nửa góc ở ngoại tiếp)
Vậy ta có: ∠ABO = ∠OCB và ∠OAB = ∠OBA
Do đó, tam giác ABO đồng quy với tam giác COB.
Từ đó, theo tính chất tam giác đồng quy, ta có: ∠BOC = ∠BOA + ∠AOC = ∠COB + ∠CBO = 180°
Vậy A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh AB^2 = AK.AI:
Ta có:
∠BAK = ∠CAK (do AB // AC)
∠BAC = ∠KAI (do AB // AK)
Vậy tam giác BAK đồng dạng với tam giác CAI (do có cặp góc tương đương).
Từ đó, ta có: AB/AK = BA/AI (theo tính chất tam giác đồng dạng)
⇒ AB^2 = AK.AI

c) Chứng minh IJ // EB:
Ta có:
∠BDJ = ∠BAJ (do AB // DJ)
∠JBD = ∠JBA (do J thuộc BC)
Vậy tam giác BDJ đồng dạng với tam giác BAJ (do có cặp góc tương đương).
Từ đó, ta có: DJ/BJ = BD/BA (theo tính chất tam giác đồng dạng)
⇒ DJ/BJ = DJ/2AI (vì I là trung điểm của ED)
⇒ BJ = 2AI
Vậy IJ // EB (vì IJ cắt BC tại J và AI cắt AB tại I theo tỉ lệ 2:1).