a) Chứng minh BD = 2.EO:

Ta có trường hợp tam giác vuông PMB và tam giác vuông OEB cùng có góc tại B, do đó chúng đồng dạng. Vì vậy, ta có tỉ lệ:

PM/EO = MB/EB

Nhưng PM/EO = 1 (vì PM là đường cao của tam giác vuông PMB và EO là đường kính của đường tròn (O;R)), nên ta có:

1 = MB/EB

Do đó, MB = EB.

Tương tự, ta cũng có tam giác vuông PNC và tam giác vuông OED cùng đồng dạng, từ đó ta cũng có PN = ED.

Vì E là trung điểm AC, nên ta có ED = EC. Từ đó suy ra PN = EC.

Đặt x = EC, y = BC.

Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông ABP, ta có:

AB^2 = AP^2 + BP^2
AB^2 = (PN + NP)^2 + (BN + NP)^2
AB^2 = (x + y)^2 + (y + x)^2
AB^2 = 2(x^2 + y^2) + 4xy

Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông OEB, ta có:

OB^2 = EO^2 + EB^2
OB^2 = R^2 + x^2

Từ đó suy ra:

x^2 = OB^2 - R^2

Substitute x^2 vào công thức của AB^2:

AB^2 = 2(OB^2 - R^2 + y^2) + 4xy
AB^2 = 2OB^2 - 2R^2 + 2y^2 + 4xy
AB^2 = 2(OB^2 + y^2 + 2xy) - 2R^2
AB^2 = 2(OB^2 + y(x + y)) - 2R^2

Nhưng ta cũng biết rằng AB^2 = 4EO^2, nên ta có:

4EO^2 = 2(OB^2 + y(x + y)) - 2R^2
2EO^2 = OB^2 + y(x + y) - R^2

Vì OB = R và EO = R/2 (vì E là trung điểm AC), nên ta có:

2(R/2)^2 = R^2 + y(x + y) - R^2
R^2/2 = xy + y^2

Do đó:

EO^2 = xy + y^2
2EO^2 = 2xy + 2y^2

Vậy ta đã chứng minh BD = 2EO.