a) Ta có $\angle AEF = \angle ACF = \angle ABH$ (do $ABHF$ nội tiếp), và $\angle AFE = \angle ABE = \angle ACH$ (do $ACHF$ nội tiếp). Do đó, $\angle AEF + \angle AFE = \angle ABH + \angle ACH = 180^\circ$, suy ra tứ giác $AEHF$ nội tiếp.

b) Ta có $\angle AIF = \angle AEF$ (do $AEHF$ nội tiếp) và $\angle AIB = \angle ACB = \angle AFE$ (do $ABCF$ nội tiếp). Vậy $\triangle AIF \sim \triangle AIB$, suy ra $\angle AFI = \angle ABI$. Tương tự, ta có $\angle AEI = \angle ACI$. Do đó, $\angle AFI + \angle AEI = \angle ABI + \angle ACI = 180^\circ$, suy ra tứ giác $AIBC$ nội tiếp.

c) Ta có $\angle EKF = \angle EBC = \angle ACF = \angle ABH = \angle AFH = \angle EAF$, suy ra $AEKF$ nội tiếp. Từ đó, ta có $\angle KAE = \angle KFE = \angle AFE = \angle ABE = \angle CAH = \angle CAF$, suy ra $AK$ song song với $BC$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Ta có $MH$ vuông góc với $BC$, suy ra $MH$ song song với $EF$. Từ đó, ta có $\angle KMH = \angle KFE = \angle AFE = \angle AHE$, suy ra $AK$ đi qua $H$.

Vậy ba điểm $A, I, K$ thẳng hàng.