Theo định lí Stewart trong tam giác, nếu ta có tam giác ABC và một điểm M trên cạnh BC, thì:

AB² * CM + AC² * BM = BC * (BM * CM + AM²)

Ở đây, vì BM và CN là tia phân giác của tam giác vuông tại A, nên AM là trung tuyến của tam giác vuông nên AM = 1/2 * BC. Vì AC = 4 và AB = 3, nên BC = 5 (Theo định lý Pythagoras).

Như vậy, AM = 1/2 * BC = 2.5.

Thay giá trị vào công thức của định lí Stewart:

AB² * CM + AC² * BM = BC * (BM * CM + AM²)

Thì ta được:

3² * CM + 4² * BM = 5 * (BM * CM + 2.5²)

Sắp xếp lại, ta được:

BM * CM = 2.5² - (9 * CM + 16 * BM) / 5

Điều này tạo thành hệ phương trình có hai biến BM và CM. Tuy nhiên, chúng ta không cần giải hệ phương trình này để tìm ra giá trị của BM và CM. 

Theo định lý Angle Bisector Theorem, tỷ lệ giữa độ dài các đoạn tạo bởi một tia phân giác góc của một tam giác với hai cạnh liền kề là bằng tỷ lệ giữa độ dài của hai cạnh đó. Tức là, ta có:

BM / MC = AB / AC

=> BM = (AB / AC) * MC = (3/4) * MC

và 

CN / NB = AC / AB

=> CN = (AC / AB) * NB = (4/3) * NB

Nhưng vì BM = CN (do cả hai đều là tia phân giác), ta có:

(3/4) * MC = (4/3) * NB

Từ đó, ta có:

NB = 9/16 * MC và MC = 16/9 * NB

Vì NB + MC = BC = 5, ta có thể giải hệ phương trình này để tìm giá trị của NB và MC.

NB = 5 / (1 + 16/9) = 45/25 = 1.8

MC = 5 / (1 + 9/16) = 80/25 = 3.2

Cuối cùng, MN là đoạn nối giữa hai tia phân giác, ta có MN = MC - NB = 3.2 - 1.8 = 1.4

Vậy, BN = 1.8, CM = 3.2, MN = 1.4.