Để chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt, ta cần tìm điểm giao của hai đường này.

Gọi (x, y) là một điểm thuộc cả đường thẳng (d) và parabol (P). Khi đó, ta có:

Điểm thuộc đường thẳng (d): y = (m-1)x + 2  -- (1)
Điểm thuộc parabol (P): y = x^2  -- (2)

Để tìm điểm giao của hai đường, ta giải hệ phương trình (1) và (2). Thay y từ (2) vào (1), ta được:

x^2 = (m-1)x + 2

Đây là một phương trình bậc hai. Ta chuyển nó về dạng tiêu chuẩn:

x^2 - (m-1)x - 2 = 0

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt, ta cần phương trình trên có hai nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với việc điều kiện delta (biểu thức dưới dấu căn bậc hai) của phương trình trên lớn hơn 0.

Áp dụng công thức delta, ta có:

delta = b^2 - 4ac
       = (m-1)^2 - 4(1)(-2)
       = m^2 - 2m + 9

Để điều kiện delta > 0, ta cần:

m^2 - 2m + 9 > 0

Để giải phương trình bậc hai trên, ta cần tìm điều kiện để biểu thức trên là một đa thức bậc hai dương. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đồ thị hàm số f(x) = m^2 - 2m + 9 nằm trên trục hoành trên mọi giá trị của x.

Với đồ thị hàm số này là một parabol hướng lên, điểm yếu nhất của nó sẽ là điểm cực tiểu. Điểm cực tiểu của một parabol hướng lên xảy ra khi đạo hàm của nó bằng 0. Ta tính đạo hàm của f(x) và giải phương trình đạo hàm đó bằng 0:

f'(x) = 2m - 2

2m - 2 = 0
=> 2m = 2
=> m = 1

Điểm cực tiểu của f(x) xảy ra khi m = 1. Tại đây, giá trị của f(x) là: f(1) = 1^2 - 2(1) + 9 = 8.

Vì vậy, điều ki

ện để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt là m^2 - 2m + 9 > 0 với m khác 1.

Kết luận: Đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi m^2 - 2m + 9 > 0 và m khác 1.