Gọi M là trung điểm của BC. Ta có BM=CM=DM. Kẻ đường trung tuyến DE của tam giác ABC. Ta có DE song song với AB và DE=1/2AB.

Gọi x=BD, y=DC, ta có x+y=BC.

Áp dụng định lý Pythagore, ta có:

$AB^2=AD^2+DB^2=(x+y)^2+AD^2$

$BC^2=BD^2+DC^2=x^2+y^2$

$CA^2=CD^2+AD^2=(x+y)^2+y^2$

Do đó:

$AB^2+BC^2+CA^2=2(x^2+y^2+xy)+2(x^2+xy+y^2)=4(x^2+y^2+xy)$

Mà $AB^2+BC^2+CA^2=3IA^2+3IB^2+3IC^2$

Do đó:

$3IA^2+3IB^2+3IC^2=4(x^2+y^2+xy)$

Vì IA=IB=IC=ID, ta có:

$12IA^2=3IA^2+3IB^2+3IC^2+3ID^2=4(x^2+y^2+xy)+3ID^2$

Mặt khác, ta có:

$ID^2=BD^2+BI^2=x^2+(x+y)^2/4$

Do đó:

$12IA^2=4(x^2+y^2+xy)+3(x^2+(x+y)^2/4)$

$=7x^2+10xy+7y^2/2$

$=7(x+y)^2/2+3x^2-xy+3y^2/2$

$=10BC^2/4+3x^2-xy+3y^2/2$

$=10BC^2/4+3(x-y)^2/2+6xy$

Vì $x+y=BC$ nên $xy\leq (BC/2)^2$. Do đó:

$12IA^2\leq 10BC^2/4+3(x-y)^2/2+3BC^2/2$

$=13BC^2/4+3(x-y)^2/2$

$=13BC^2/4+3(BD-DC)^2/2$

$=13BC^2/4+3BC^2/4$

$=4BC^2$

Vậy $IA^2\leq BC^2/3$. Điểm I cần tìm là điểm nằm trên đường trung tuyến DE và cách M một khoảng bằng $\sqrt{BC^2/3}$.