a) Ta có $\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - \angle ABC - \angle ABD = \angle DBA$. Do đó $AB \parallel CK$. Từ đó suy ra $\angle AKC = \angle ABC = \angle ACB$. Vậy tam giác $AKC$ là tam giác cân tại $A$, do đó $AK = AC$.
b) Ta có $\angle KBC = \angle ABC - \angle ABK = \angle ABC - \angle ABD = \angle DBA = \angle KCB$. Do đó tam giác $KBC$ là tam giác cân tại $K$, suy ra $KB = KC$.
c) Gọi $F$ là giao điểm của $AC$ và $DE$. Ta cần chứng minh $A, K, E$ thẳng hàng, hay $K$ thuộc đường thẳng $AFE$.
Ta có $AB = AM$ và $BD = BA$ nên tam giác $ABD$ là tam giác cân tại $B$. Do đó $BD \parallel AC$. Từ đó suy ra $\angle ADF = \angle ABC = \angle ACB$. Như vậy tam giác $ADF$ cũng là tam giác cân tại $A$.
Do $BD \parallel AC$ nên $\angle ABD = \angle ACB$. Mà $\angle ABD = \angle AFD$ nên $\angle AFD = \angle ACB$. Từ đó suy ra $AF \parallel BC$.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $ABC$ và đường thẳng $FED$ ta có:
$$\frac{FB}{FA} \cdot \frac{EA}{EC} \cdot \frac{DC}{DB} = 1$$
Do $AF \parallel BC$ nên $\frac{FB}{FA} = \frac{CB}{CA} = \frac{1}{2}$. Từ đó suy ra $\frac{EA}{EC} = \frac{1}{2}$.
Do $AB \parallel CK$ nên $\angle KCB = \angle ABC = \angle AFD$. Mà $AF \parallel BC$ nên $\angle AFD = \angle KCF$. Như vậy $\angle KCB = \angle KCF$, suy ra $K$ thuộc đường thẳng $AFE$. Vậy $A, K, E$ thẳng hàng.