Ta có:
- Gọi M là trung điểm của BC.
- Gọi I là giao điểm của AM và HK.
- Ta có BM = MC (do M là trung điểm của BC), BD ⊥ AC, CE ⊥ AB nên BM ⊥ BD và BM ⊥ CE.
- Vậy BM là đường cao của tam giác ABC.
- Do đó, ta có: $\angle BMD = 90^\circ$ và $\angle CME = 90^\circ$.
- Vì HK ⊥ BC nên $\angle HKM = 90^\circ$.
- Từ đó suy ra: $\angle BMD + \angle HKM + \angle CME = 180^\circ$.
- Nhưng $\angle BMD = \angle CME = 90^\circ$ nên $\angle HKM = 0^\circ$.
- Vậy I nằm trên đường thẳng BM.
- Ta có: $\angle BAI = \angle CAM$ (do AB // MC và AC // BM).
- Nhưng $\angle CAM = \angle CBM$ (do BM là đường cao của tam giác ABC) nên $\angle BAI = \angle CBM$.
- Tương tự, ta có: $\angle BCI = \angle ABM$.
- Vậy tam giác ABM và tam giác BCI đồng dạng.
- Từ đó suy ra: $\frac{AB}{BM} = \frac{BC}{CI}$.
- Nhân cả hai vế với $\frac{2}{BC}$, ta được: $\frac{2AB}{BC} = \frac{2BM}{CI}$.
- Nhưng $\frac{2AB}{BC} = \frac{AH}{HC}$ (do đường cao CH chia tam giác ABC thành hai tam giác đồng dạng) và $\frac{2BM}{CI} = \frac{HK}{KI}$ (do tam giác ABM và tam giác BCI đồng dạng).
- Vậy $\frac{AH}{HC} = \frac{HK}{KI}$.
- Nhưng $\angle HAI = \angle HKI = 90^\circ$ (do HK ⊥ BC và AI ⊥ BC) nên tam giác AHI và tam giác HKI đồng dạng.
- Từ đó suy ra: $\frac{AH}{HK} = \frac{HI}{KI}$.
- Nhưng $\frac{AH}{HK} = \frac{HC}{KI}$ (do $\frac{AH}{HC} = \frac{HK}{KI}$) nên $\frac{HC}{KI} = \frac{HI}{KI}$.
- Từ đó suy ra: HC = HI.
- Vậy I nằm trên đường thẳng CH.
- Nhưng H nằm trên đường thẳng BD nên A, H, K đồng hàng trên đường thẳng BDCH.