a) Ta có: $\angle MON = 90^\circ$ (do $MN$ là đường đường kính của nửa đường tròn $(O)$).
Vì $Mx$ và $Ny$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ nên ta có: $\angle MOx = \angle NOy$.
Do đó: $\angle COD = \angle MOx + \angle NOy = 2\angle MOx = 2\angle MCE$.
Ta có: $\angle MCE = \angle MNE = \angle MON = 90^\circ - \angle MNO$.
Do đó: $\angle COD = 2\angle MCE = 2(90^\circ - \angle MNO) = 180^\circ - 2\angle MNO$.
b) Ta có: $\angle MCE = \angle MNE = \angle MON = 90^\circ - \angle MNO$.
Do đó: $\angle MNO = 90^\circ - \frac{\angle MCE}{2}$ và $\angle MCO = \frac{\angle MCE}{2}$.
Từ đó suy ra: $\triangle MCO \sim \triangle MNE$ và $\triangle NDO \sim \triangle MNE$.
Do đó: $\frac{MC}{MN} = \frac{MN}{NE}$ và $\frac{ND}{NE} = \frac{NO}{MN}$.
Từ hai công thức trên, ta có: $MC.ND = MN^2$ và $NE^2 = MC.NO$.
Do đó: $CE.ED = (CE - NE).NE = (MC + NO)(NE) = MC.NO + NE^2 = MC.NO + \frac{MN^2}{4}$ (do $\triangle MNE$ vuông tại $N$).
Như vậy: $CE.ED = MC.NO + \frac{MN^2}{4} = \frac{MN^2}{4}$ (do $MC.NO = \frac{MN^2}{4}$ vì $MNO$ vuông tại $N$).
Vậy ta đã chứng minh được $CE.ED = \frac{MN^2}{4}$.
c) Ta có: $\angle MCO = \frac{\angle MCE}{2} = \angle MNE = \angle MON$ (do $MNEO$ là tứ giác nội tiếp).
Do đó: $MN$ song song với $CO$ và $MN = CO = CD$ (do $MNOC$ là hình bình hành).
Vậy ta đã chứng minh được $MN$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $CD$.