Để chứng minh tam giác ABD = tam giác ABC, ta cần chứng minh BD = BC và góc ABD = góc ABC.

Vì tam giác ABC vuông tại A và góc B = 30 độ, ta có thể suy ra góc A = 60 độ. Vì AD = AC, ta có thể vẽ đường thẳng DE song song với BC, với E là điểm trên BC sao cho DE = AC.

Khi đó, tam giác ADE cũng là tam giác đều với góc ADE = 60 độ. Vì AD = AC và góc A = 60 độ, ta có thể suy ra tam giác ACD cũng là tam giác đều.

Do đó, ta có BD = BC (vì BD là đường cao của tam giác ACD và BC là đường cao của tam giác ABC) và góc ABD = góc ABC (vì ABDE là hình chữ nhật và góc ABE = góc ABC). Vì vậy, tam giác ABD = tam giác ABC.

Để chứng minh tam giác BCD là tam giác đều, ta cần chứng minh góc CBD = 60 độ.

Vì tam giác ABC vuông tại A và góc B = 30 độ, ta có thể suy ra góc A = 60 độ. Vì tam giác ACD là tam giác đều, ta có góc CAD = 60 độ.

Khi đó, ta có thể suy ra góc CBD = góc CAD - góc CBA = 60 độ - 30 độ = 30 độ.

Vì vậy, tam giác BCD là tam giác đều.