a) Ta có: $\angle BAI = \angle IAC$, suy ra $\angle BAI = \angle A/2 = \angle IAC$. Do đó, tam giác AIB và AIC đồng dạng. Khi đó, ta có:
$$\frac{IB}{IC} = \frac{AB}{AC} < 1$$
Do đó, $IB < IC$. Tương tự, ta có $IC < IA$, suy ra $IB < IA$. Kết hợp với $AF$ là đường phân giác của tam giác $ABC$, ta có $IF < IA$. Vậy $IF < IA < IC$, suy ra $F$ nằm giữa $B$ và $C$.
Gọi $M'$ là giao điểm của $IF$ và $BC$. Ta sẽ chứng minh $M' = M$.
Ta có:
$$\frac{BM'}{M'C} = \frac{IB}{IC} = \frac{AB}{AC}$$
Mà $CE = AB$, suy ra:
$$\frac{BM'}{M'C} = \frac{CE}{AC}$$
Do đó, $M'E$ song song với $AI$. Kết hợp với $IM' \perp AB$, ta có $M' \equiv M$. Vậy $BM = MC$.
b) Ta có:
$$\angle IAN = \angle IAM = \angle BAC/2 = \angle CAE/2 = \angle IEN$$
Do đó, $IANE$ là tứ giác nội tiếp. Khi đó, ta có:
$$\angle IAE = \angle INE$$
Nhưng $IN \perp AE$, suy ra $IN$ là đường trung trực của $AE$.
c) Ta có:
$$\angle FCB = \angle ICA = \angle IAC = \angle BAI$$
Do đó, tam giác $ABF$ và $ICF$ đồng dạng. Khi đó, ta có:
$$\frac{FC}{FB} = \frac{IC}{AB} = \frac{IC}{AC} = \frac{IB}{AC} < 1$$
Do đó, $FC < FB$.