a) Ta có $\angle ABD = \angle EBD$ (vì $BE=BA$) và $\angle ADB = \angle BDE$ (vì $BD$ là phân giác của $\angle B$). Do đó, theo góc đối, ta có tam giác $ABD$ đồng dạng với tam giác $EBD$. Từ đó suy ra $AB/EB = AD/ED$. Nhưng $BE=BA$ nên $AB/EB=1$. Do đó, $AD/ED=1$ hay $AD=ED$. Vậy $AD=DE$, tức tam giác $AED$ cân tại $E$. Như vậy, ta có $\angle AED = \angle ADE = \angle BDC$. Nhưng $\angle ABD = \angle EBD$ nên $\angle ABD + \angle AED = \angle EBD + \angle BDC$. Từ đó suy ra $\angle ABE = \angle EBC$, hay tam giác $ABE$ đồng dạng với tam giác $EBC$. Do đó, $AE/EB=EB/BC$, hay $AE/AB=AB/BC$. Nhưng $AB
b) Ta có $\angle AHB = 90^\circ$ (vì $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$). Do đó, tứ giác $ABHE$ là hình thang vuông.

c) Gọi $F$ là giao điểm của $EI$ và $BD$. Ta có $\angle AFI = \angle AFE + \angle EFI = \angle ABE + \angle EBI = \angle ABI$. Nhưng $\angle ABI = \angle DBI$ (vì $BD$ là phân giác của $\angle B$) nên $\angle AFI = \angle DBI$. Từ đó suy ra tứ giác $ACFE$ là hình thang vuông (vì $AC \perp BD$ và $EF \perp BD$).