Ta có:

- $\angle HAC = \angle HAI$ (do $AI$ là đường phân giác của $\angle HAC$)
- $\angle AHC = \angle IAH$ (do $AI$ là đường phân giác của $\angle AHC$)
- $\angle HAB = \angle CAD$ (do $AD$ là đường phân giác của $\angle HAB$)

Suy ra:

$$\angle CAI = \angle HAI - \angle HAC = \angle HAC = \angle HAB + \angle BAC = \angle CAD + \angle BAC = \angle BAD$$

Vậy $CI$ là đường phân giác của $\angle BAD$.

Ta có $AD \perp BC$ nên $CI$ là đường trung trực của $AD$.

Vậy $CI$ đi qua trung điểm của $AD$. $\blacksquare$