Vì hình thang cân nên ta có:
- Đường cao AH chia hình thang thành hai tam giác vuông cân AHB và CHD.
- AB//CD nên tam giác AHB và CHD đồng dạng.
- Gọi x là độ dài HC, ta có AD = AB + DC = 16 + 34 = 50 (cm).
- Từ đó ta tính được AH = $\sqrt{AD^2 - x^2}$.
- Từ tam giác vuông AHB, ta có $HB = \frac{AB}{2} = 8$ (cm).
- Từ tam giác vuông CHD, ta có $HD = \frac{DC}{2} = 17$ (cm).
- Vậy chu vi hình thang ABCD là: $AB + BC + CD + DA = 16 + \sqrt{17^2 + x^2} + 34 + \sqrt{16^2 + x^2}$ (cm).
- Diện tích hình thang ABCD là: $S = \frac{(AB + CD) \times AH}{2} = \frac{(16 + 34) \times \sqrt{50^2 - x^2}}{2}$ (cm$^2$).

Để tính được chu vi và diện tích hình thang, ta cần tìm giá trị của x. Ta có thể sử dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông CHD để giải phương trình sau:

$$x^2 + 17^2 = (\frac{AB + CD}{2})^2 = 25^2$$

Suy ra $x = 24$ (cm).

Vậy chu vi hình thang ABCD là: $16 + \sqrt{17^2 + 24^2} + 34 + \sqrt{16^2 + 24^2} \approx 106.2$ (cm).

Diện tích hình thang ABCD là: $\frac{(16 + 34) \times \sqrt{50^2 - 24^2}}{2} \approx 408$ (cm$^2$).