Ta có:

x^2 - xy = y^2 - yz

⇔ x^2 - y^2 = xy - yz

⇔ (x + y)(x - y) = y(x - z)

⇔ (x + y)(x - y) = -z(y - x)

⇔ (x + y)(x - y) + z(y - x) = 0

⇔ (x - y)(x + y - z) = 0

Tương tự, ta có:

y^2 - yz = z^2 - xz

⇔ (y + z)(y - z) = x(z - y)

⇔ (y + z)(z - y) = -x(y - z)

⇔ (y + z)(y - z) + x(y - z) = 0

⇔ (y - z)(y + z - x) = 0

Vì x, y, z khác 0, khác nhau đôi một nên ta có thể chia cả hai vế của các phương trình trên cho (x - y)(y - z)(z - x) để được:

x + y - z = 0

y + z - x = 0

z + x - y = 0

Tổng ba phương trình trên ta được:

2(x + y + z) = 0

⇔ x + y + z = 0

Do đó, ta có:

xy + yz + zx = (x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2)

= 0 - [(x^2 - xy) + (y^2 - yz) + (z^2 - xz)]

= 0

Vậy, ta đã chứng minh được rằng xy + yz + zx = 0.