Ta có:
- Vì AI = IB nên I là trung điểm của AB.
- Vì CK = KD nên K là trung điểm của CD.
- Gọi M là giao điểm của AC và BD, ta có AM = MC và BM = MD.
- Từ hai tam giác AKE và CKB, ta có:
+ $\frac{AE}{EK} = \frac{AM}{CK} = \frac{MC}{CK} = \frac{MD}{KD} = \frac{BM}{BK} = \frac{BF}{FK}$
+ $\angle AEF = \angle KEF - \angle KEA = \angle KCB - \angle KAB = \angle FBE$
=> Hai tam giác AEF và BFE đồng dạng.
- Từ đó, ta có $\frac{BE}{EF} = \frac{BF}{AE} = \frac{BK}{EK} = \frac{KD}{EK} = \frac{CD}{AE}$
- Vì I là trung điểm của AB nên $\frac{IE}{EF} = \frac{IA}{AD}$
- Từ hai tỉ số trên, ta có $\frac{IE}{EF} = \frac{CD}{AE} = \frac{CK}{AK}$
- Vì K là trung điểm của CD nên $\frac{CK}{AK} = 1$
- Vậy $\frac{IE}{EF} = 1$ hay $IE = EF$
- Tương tự, ta có $KF = BE$
- Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên $IE = IB$
- Từ hai tam giác $BIF$ và $KEI$, ta có $\angle BIF = \angle KEI$ và $\angle FIB = \angle EIK$
- Vậy hai tam giác này đồng dạng và ta có $\frac{FB}{EI} = \frac{IB}{EK}$
- Từ đó, ta có $\frac{FB}{EI} = \frac{IB}{EK} = \frac{AB}{AK}$
- Vì $K$ là trung điểm của $CD$ nên $AK = \frac{1}{2} (AD + AB)$
- Từ đó, ta có $\frac{FB}{EI} = \frac{AB}{AK} = \frac{2AB}{AD + AB}$
- Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên $EI = \frac{1}{2} AB$
- Từ đó, ta có $\frac{FB}{AB} = \frac{2EI}{AD + AB} = \frac{AB}{AD + AB}$
- Vậy $FB = \frac{AB^2}{AD + AB}$ và $BE = \frac{AD^2}{AD + AB}$
- Từ đó, ta có $EF = FB + BE = \frac{AB^2 + AD^2}{AD + AB}$
- Vậy ta đã chứng minh được $EF = BE = \frac{AD^2}{AD + AB}$ và $EI = \frac{1}{2} AB$
- Từ đó, ta suy ra $BE = EF = FB = \frac{AD^2}{AD + AB}$