Để chứng minh \( A = 75 \left(4^{2004} + 4^{2003} + \cdots + 4^2 + 4 + 1\right) + 25 \) chia hết cho 100, ta sẽ xử lý từng phần của biểu thức.

### Bước 1: Tính tổng trong dấu ngoặc

Biểu thức trong ngoặc là một cấp số nhân với \( n = 2004 \):

\[
4^{2004} + 4^{2003} + \cdots + 4^2 + 4 + 1
\]

Cấp số nhân này có công bội là 4 và số hạng đầu là 1. Ta tính tổng như sau:

\[
S = 4^{2004} + 4^{2003} + \cdots + 4^2 + 4 + 1 = \frac{4^{2005} - 1}{4 - 1} = \frac{4^{2005} - 1}{3}
\]

### Bước 2: Tính A

Bây giờ chúng ta thay tổng \( S \) vào \( A \):

\[
A = 75 \cdot \frac{4^{2005} - 1}{3} + 25
\]

### Bước 3: Xác định tính chia hết cho 100

Để kiểm tra xem \( A \) có chia hết cho 100 hay không, chúng ta kiểm tra từng phần với modulo 100.

1. **Kiểm tra \( 75 \cdot \frac{4^{2005} - 1}{3} \mod 100 \)**:

Biểu thức \( \frac{4^{2005} - 1}{3} \) cần được chia cho 3. Ta cần kiểm tra \( 4^{2005} \mod 300 \) (bởi vì \( 75 \) chia cho \( 100 \) cho giá trị cao hơn).

- Theo định lý số dư (theo chu kỳ), ta có:

\[
4^n \mod 100
\]

Xét chu kỳ của \( 4^n \mod 100 \), ta nhận thấy:

- \( 4^1 \equiv 4 \)
- \( 4^2 \equiv 16 \)
- \( 4^3 \equiv 64 \)
- \( 4^4 \equiv 56 \)
- \( 4^5 \equiv 24 \)
- \( 4^6 \equiv 76 \)
- \( 4^7 \equiv 4 \) (chu kỳ bắt đầu lại)

Chu kỳ là 50. Ta tính \( 2005 \mod 50 \):

\[
2005 \mod 50 = 5 \quad \Rightarrow \quad 4^{2005} \equiv 4^5 \equiv 24 \mod 100
\]

Vậy \( 4^{2005} - 1 \equiv 23 \mod 100 \).

2. **Tính \( \frac{23}{3} \mod 100 \)**:

Để thực hiện phép chia, ta tìm nghịch đảo của 3 modulo 100. Theo phương pháp Euclid hoặc bằng cách thử, ta tìm thấy \( 3 \cdot 33 \equiv 99 \equiv -1 \):

Nên \( 3^{-1} \equiv 67 \mod 100 \).

Vậy:

\[
\frac{23}{3} \equiv 23 \cdot 67 \equiv 1541 \mod 100 \equiv 41
\]

3. **Tính \( 75 \cdot 41 \mod 100 \)**:

\[
75 \cdot 41 = 3075 \mod 100 \equiv 75
\]

4. **Cộng với 25**:

\[
A \equiv 75 + 25 \equiv 100 \mod 100
\]

### Kết luận

Vậy:

\[
A \equiv 0 \mod 100
\]

Nên \( A \) chia hết cho 100.
### Hoàn tất chứng minh!