Để chứng minh rằng dãy số Un là dãy số giảm, ta cần chứng minh rằng Un+1 < Un với mọi n là số nguyên dương.

Ta có:

Un+1 = 2(n+1) - căn(4(n+1)² - 1)

Un = 2n - căn(4n² - 1)

Vậy:

Un+1 - Un = (2n+2 - 2n) - (căn(4(n+1)² - 1) - căn(4n² - 1))

= 2 - (căn(4(n+1)² - 1) - căn(4n² - 1))

Để chứng minh Un+1 < Un, ta cần chứng minh rằng:

2 - (căn(4(n+1)² - 1) - căn(4n² - 1)) < 0

Tức là:

căn(4(n+1)² - 1) - căn(4n² - 1) > 2

Để chứng minh điều này, ta sử dụng bất đẳng thức:

căn(a) - căn(b) < căn(a - b) với a > b > 0

Áp dụng vào bất đẳng thức trên, ta có:

căn(4(n+1)² - 1) - căn(4n² - 1) < căn(4(n+1)² - 1 - 4n² + 1)

= căn(16n + 4)

= 2căn(4n + 1)

Vậy:

căn(4(n+1)² - 1) - căn(4n² - 1) < 2căn(4n + 1)

Để chứng minh Un+1 < Un, ta cần chứng minh rằng:

2 - 2căn(4n + 1) < 0

Tức là:

căn(4n + 1) > 1

Điều này đúng với mọi n là số nguyên dương, vì:

căn(4n + 1) > căn(4) = 2 > 1

Vậy ta đã chứng minh được rằng dãy số Un là dãy số giảm.