a) Ta có: $BH^2 + CH^2 = AB^2 + AC^2$. Thay các giá trị vào ta được: $4^2 + 12^2 = AB^2 + AC^2$. Tính được $AB^2 + AC^2 = 160$, suy ra $AB^2 = 160 - AC^2$.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có: $AB^2 = AH^2 + BH^2$. Thay các giá trị vào ta được: $AH^2 + 4^2 = AB^2 = 160 - AC^2$.

Tương tự, ta có: $AC^2 = AH^2 + CH^2$. Thay các giá trị vào ta được: $AH^2 + 12^2 = AC^2 = 160 - AB^2$.

Giải hệ phương trình 2 ẩn $AB^2$ và $AC^2$ ta được: $AB = 2\sqrt{10}$ và $AC = 2\sqrt{50}$.

b) Ta có: $AH = \frac{BH \times CH}{\sqrt{BH^2 + CH^2}} = \frac{4 \times 12}{\sqrt{4^2 + 12^2}} = \frac{24}{\sqrt{10}}$.