Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có: $AM$ là đường trung trực của đoạn $BC$.
Ta kẻ $AH \perp BC$ và $AN \perp AB$.
Khi đó, ta có: $AH = AN = \dfrac{BC}{2}$.
Vì $AB = 8$ và $AC = 15$ nên ta có: $AH = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{15}{2}$ và $AN = \dfrac{AB}{2} = 4$.
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác $AHN$, ta có:
$$HN^2 = AH^2 - AN^2 = \left(\dfrac{15}{2}\right)^2 - 4^2 = \dfrac{49}{4}$$
Do đó, $HN = \dfrac{7}{2}$.
Vì $AM$ là đường trung trực của $BC$ nên $HM = HN = \dfrac{7}{2}$.
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác $AHM$, ta có:
$$AM^2 = AH^2 + HM^2 = \left(\dfrac{15}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{7}{2}\right)^2 = \dfrac{289}{4}$$
Do đó, $AM = \dfrac{17}{2}$.
Vậy độ dài đoạn $AM$ là $\dfrac{17}{2}$ cm.