Gọi M là trung điểm của AB. Ta có AM = MB = a/2.

Gọi x là độ dài AD và y là độ dài BE. Theo đề bài, ta có:

x + y = 2a

Ta cần tìm vị trí của D và E sao cho diện tích tử giác ABED là lớn nhất. Diện tích tử giác ABED bằng:

S = 1/2 . AB . h

Trong đó, h là độ dài đường cao từ A xuống DE.

Gọi H là hình chiếu của A lên DE. Ta có:

AH = x cos(60°) = x/2

MH = AM - AH = a/2 - x/2 = (a - x)/2

Do đó, ta có:

h = DH = DE sin(60°) = (DM - MH) sin(60°) = (a/2 - y/2 - (a - x)/2) sin(60°) = (x - y) sin(60°)/2

Vậy, diện tích tử giác ABED bằng:

S = 1/2 . AB . h = 1/2 . a . (x - y) sin(60°)/2

S = a^2 sin(60°)/8 . (x - y)

Để S đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của (x - y).

Từ x + y = 2a, ta suy ra:

x - y = 2a - 2y - x = 2(a - y) - x

Do đó, để (x - y) đạt giá trị lớn nhất, ta cần chọn x sao cho (a - y) là lớn nhất. Tương tự, ta cần chọn y sao cho (a - x) là lớn nhất.

Vì x + y = 2a, nên ta có:

(a - x) + (a - y) = a

Do đó, để (a - x) và (a - y) đạt giá trị lớn nhất, ta cần chọn x và y bằng a/2.

Vậy, vị trí của D và E để diện tích tử giác ABED lớn nhất là:

- D là điểm trên tia đối của tia AC sao cho AD = a/2
- E là điểm trên tia đối của tia BC sao cho BE = a/2.