Để tính độ dài HB, HD, HC, ta sử dụng các công thức liên quan đến tam giác vuông.

Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có đường cao AH là đường phân giác của góc BAC. Do đó, ta có:

ABH = ACH (góc vuông)
ABH = AHD (góc nhọn)
Do đó, tam giác ABH và tam giác AHD là hai tam giác đồng dạng.

Áp dụng công thức đồng dạng tam giác, ta có:

HB/HD = AB/AH
HB/HD = 12/16
HB/HD = 3/4

Từ đó, ta có HB = (3/4)HD.

Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có:

HC^2 = AC^2 - AH^2
HC^2 = 16^2 - (12^2 + HD^2)

Vì tam giác ABH và tam giác AHD là hai tam giác đồng dạng, ta có:

HB/HD = AB/AH
HB/HD = 12/HD
HB = (12/HD)HD
HB = 12

Từ đó, ta có:

HC^2 = 16^2 - (12^2 + HD^2)
HC^2 = 256 - (144 + HD^2)
HC^2 = 256 - 144 - HD^2
HC^2 = 112 - HD^2

Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có:

HC^2 + HB^2 = BC^2
(112 - HD^2) + 12^2 = BC^2
112 - HD^2 + 144 = BC^2
256 - HD^2 = BC^2

Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC^2 = AC^2 + AB^2
BC^2 = 16^2 + 12^2
BC^2 = 256 + 144
BC^2 = 400

Vậy, ta có:

256 - HD^2 = 400
HD^2 = 256 - 400
HD^2 = -144

Vì HD^2 không thể âm, nên không có giá trị thỏa mãn.

Vậy, không có giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.