Để chứng minh rằng 1/3 + 2/3^2 + 3/3^3 + ... + 100/3^100 < 3/4, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp.

Đầu tiên, ta sẽ chứng minh rằng 1/3 + 2/3^2 + 3/3^3 + ... + n/3^n < 1 - (n+1)/3^(n+1) với mọi số nguyên dương n.

Bước cơ sở:
Khi n = 1, ta có 1/3 < 1 - (1+1)/3^2 = 8/9, điều này là đúng.

Bước giả sử:
Giả sử rằng 1/3 + 2/3^2 + 3/3^3 + ... + k/3^k < 1 - (k+1)/3^(k+1) với mọi số nguyên dương k.

Bước bước chứng minh:
Ta sẽ chứng minh rằng 1/3 + 2/3^2 + 3/3^3 + ... + k/3^k + (k+1)/3^(k+1) < 1 - (k+2)/3^(k+2).

Ta có:
1/3 + 2/3^2 + 3/3^3 + ... + k/3^k + (k+1)/3^(k+1) = (1/3 + 2/3^2 + 3/3^3 + ... + k/3^k) + (k+1)/3^(k+1)
< (1 - (k+1)/3^(k+1)) + (k+1)/3^(k+1) (theo giả sử)
= 1 - (k+2)/3^(k+2)

Vậy, giả sử đúng cho n = k+1.

Áp dụng kết quả trên, ta có:
1/3 + 2/3^2 + 3/3^3 + ... + 100/3^100 < 1 - (100+1)/3^(100+1)
= 1 - 101/3^101

Để chứng minh rằng 1 - 101/3^101 < 3/4, ta sẽ so sánh giá trị của 1 - 101/3^101 và 3/4.

Ta có:
1 - 101/3^101 = (3^101 - 101)/3^101
< (3^101 - 100)/3^101 (vì 101 > 100)
< (3^101)/3^101 (vì 100 < 3^101)
= 1

Vậy, ta có 1 - 101/3^101 < 1.

Từ đó, ta có:
1/3 + 2/3^2 + 3/3^3 + ... + 100/3^100 < 1 - 101/3^101 < 1

Và 1 < 3/4.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng 1/3 + 2/3^2 + 3/3^3 + ... + 100/3^100 < 3/4.