Để chứng minh các mệnh đề trên, ta sẽ sử dụng các định lí về hình bình hành và các đường thẳng song song.

a) Ta có:
- Trong tam giác AOE và FOE, ta có AO = FO (vì O là giao điểm của AC và BD) và góc AOE = góc FOE (vì AB // CD). Vậy tam giác AOE và FOE là hai tam giác đồng dạng.
- Do đó, ta có tỉ số đồng dạng: AO/OE = FO/OF.
- Vì AO = FO, nên ta có AO/OE = FO/OF = 1.
- Từ đó suy ra OE = OF.

b) Ta cần chứng minh AFCE là hình bình hành.
- Ta có AB // CD (vì là hình bình hành).
- Ta cũng có OE // AB và OE // CD (vì OE là đường thẳng đi qua O và song song với AB và CD).
- Vậy ta có OE // AB // CD.
- Tương tự, ta cũng có OF // AB // CD.
- Vậy ta có OE // OF.
- Do đó, ta có AFCE là hình bình hành (vì hai cặp đường thẳng đối nhau là song song).

c) Ta cần chứng minh DE // BF.
- Ta có OE // AB và OE // CD (vì OE là đường thẳng đi qua O và song song với AB và CD).
- Tương tự, ta cũng có OF // AB và OF // CD.
- Vậy ta có OE // OF.
- Do đó, ta có DE // BF (vì DE và BF là hai đường thẳng đi qua E và F và song song với OE và OF).

d) Ta cần chứng minh M, O, N thẳng hàng.
- Ta có AF // DE (vì AFCE là hình bình hành).
- Ta cũng có CE // BF (vì AFCE là hình bình hành).
- Vậy ta có AF // DE // CE // BF.
- Do đó, ta có M, O, N thẳng hàng (vì M, O, N là các điểm nằm trên các đường thẳng AF, DE, CE).