a, Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành: Ta có AB = 2AD và E là trung điểm của AB nên AE = EB = AD. Tương tự, ta có CD = 2AD và F là trung điểm của CD nên CF = FD = AD. Vì AE = AD và CF = AD nên AEFC là hình bình hành.
b, Tứ giác AEFD là hình chữ nhật: Vì AE = AD và EF là đường chéo của hình bình hành AEFC nên AEFD là hình chữ nhật.
c, Chứng minh tứ giác EIFK là hình chữ nhật: Ta có AEFD là hình chữ nhật nên EF song song với AD. Vì I là giao điểm của AF và DE nên I nằm trên EF và IEF là tam giác đều. Vì K là giao điểm của BF và CE nên K nằm trên EF và KEF là tam giác đều. Vì IEF và KEF là tam giác đều và có cạnh chung EF nên tứ giác EIFK là hình chữ nhật.

d, Tìm điều kiện của hình vẽ bình hành ABCD để tứ giác EIFK là hình vuông: Để tứ giác EIFK là hình vuông, ta cần và đủ điều kiện là các góc của nó đều bằng nhau. Gọi x là góc giữa AB và AD. Ta có góc EAF = góc EAD + góc FAD = x + x = 2x. Vì EIFK là hình chữ nhật nên góc EIF = góc EKF = 90°. Vì tam giác IEF và KEF là tam giác đều nên góc EIK = góc EFK = 60°. Vì tứ giác EIFK là hình chữ nhật nên góc EIK = góc EIF = 90°. Từ đó suy ra 60° = 90° - 2x. Suy ra x = 15°. Vậy, điều kiện của hình vẽ bình hành ABCD để tứ giác EIFK là hình vuông là góc giữa AB và AD bằng 15°.
...