Để chứng minh rằng trong một tam giác có đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân, ta cần chứng minh rằng hai đường trung tuyến và hai đường phân giác của tam giác đó là cùng một đường.

Giả sử ABC là một tam giác có đường trung tuyến BD và đường trung tuyến CE đồng thời là đường phân giác. Ta cần chứng minh rằng BD = CE.

Vì BD là đường trung tuyến, ta có BD = \(\frac{AC}{2}\) (1)
Vì CE là đường trung tuyến, ta có CE = \(\frac{AB}{2}\) (2)

Vì CE là đường phân giác, ta có \(\angle ACE = \angle BCD\) (3)
Vì BD là đường phân giác, ta có \(\angle BCD = \angle BAC\) (4)

Từ (3) và (4), ta có \(\angle ACE = \angle BAC\) (5)

Vì CE là đường phân giác, ta có \(\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}\) (6)
Vì BD là đường phân giác, ta có \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\) (7)

Từ (6) và (7), ta có \(\frac{AE}{EC} = \frac{BD}{DC}\) (8)

Từ (5) và (8), ta có \(\triangle AEC \sim \triangle BDC\) (9)

Từ (1) và (2), ta có \(\frac{BD}{CE} = \frac{AC}{AB}\) (10)

Từ (9) và (10), ta có \(\frac{BD}{CE} = \frac{AC}{AB}\)

Do đó, BD = CE

Vậy, ta đã chứng minh rằng trong một tam giác có đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.