a) Tìm x biết dãy số có 1989 chữ số.

Chúng ta hãy xem xem có bao nhiêu chữ số trong mỗi phần của dãy.

• Số hạng từ 1 đến 9 (có 9 số hạng) mỗi số hạng có 1 chữ số. Tổng cộng 9 chữ số.
• Số hạng từ 10 đến 99 (có 90 số hạng) mỗi số hạng có 2 chữ số. Tổng cộng 180 chữ số.
• Số hạng từ 100 đến 999 (có 900 số hạng) mỗi số hạng có 3 chữ số. Tổng cộng 2700 chữ số.

Đến đây, ta thấy tổng số chữ số đã vượt quá 1989, vì vậy x sẽ nằm trong khoảng từ 100 đến 999.

Tính tổng số chữ số từ 1 đến 99 ta có: 9 + 180 = 189 chữ số.

Vậy số chữ số cần tìm trong khoảng từ 100 đến x là: 1989 - 189 = 1800 chữ số.

Mỗi số hạng từ 100 đến 999 có 3 chữ số, vậy số hạng cần tìm là: 1800 / 3 = 600.

Vậy x = 99 (số hạng cuối của phần thứ 2) + 600 = 699.

b) Tìm x để số chữ số của dãy gấp đúng 2 lần số số hạng.

Theo logic tương tự như trên, chúng ta xem xét từng phần của dãy:

• Từ 1 đến 9 (9 số hạng): 9 chữ số
• Từ 10 đến 99 (90 số hạng): 180 chữ số

Tính tổng, ta có 99 số hạng và 189 chữ số, nhưng 189 không gấp đúng 2 lần 99.

Vậy nên x sẽ nằm trong khoảng từ 100 đến 999. Mỗi số trong khoảng này có 3 chữ số. Chúng ta cần tìm số lượng các số hạng sao cho tổng số chữ số gấp đúng 2 lần số số hạng.

Đặt y là số số hạng từ 100 trở đi, vậy tổng số chữ số từ 100 trở đi sẽ là 3y. Tổng số số hạng là 99 + y.

Chúng ta có phương trình: 189 + 3y = 2 * (99 + y)

Giải phương trình trên, ta được y = 9.

Vậy x = 99 + 9 = 108.