Câu 1:
a) Ta có AM là phân giác của góc A, nên $\angle BAM = \angle CAM$.
Vì $AD = AB$, nên $\angle BAD = \angle BDA$.
Khi đó, ta có $\angle BAM = \angle BAD$ và $\angle CAM = \angle BDA$, nên $\angle BAM = \angle BDA$.
Do đó, tam giác ABM và tam giác ADM có hai góc bằng nhau, nên chúng đồng dạng.
Từ đó, ta có $\frac{BM}{DM} = \frac{AB}{AD} = 1$, suy ra BM = MD.

b) Ta có $\angle BAM = \angle BAD$ (vì AM là phân giác góc A) và $\angle BAC = \angle BDA$ (vì AD = AB).
Do đó, tam giác BAC và tam giác BAD có hai góc bằng nhau, nên chúng đồng dạng.
Từ đó, ta có $\angle BAC = \angle BAD$ và $\angle BCA = \angle BDA$, suy ra tam giác BAC và tam giác DAK đồng dạng.
Vậy tam giác DAK = tam giác BAC.

Câu 2:
a) Ta có $\angle BAC = 60^\circ$, nên $\angle BAE = \frac{1}{2} \angle BAC = 30^\circ$.
Vì AE là tia phân giác góc BAC, nên $\angle BAE = \angle EAC$.
Khi đó, ta có $\angle BAE = \angle EAC = 30^\circ$, suy ra tam giác BAE là tam giác cân.
Do đó, ta có AK = BK.

b) Ta có $\angle BAC = 60^\circ$, nên $\angle BAE = \frac{1}{2} \angle BAC = 30^\circ$.
Vì AE là tia phân giác góc BAC, nên $\angle BAE = \angle EAC$.
Khi đó, ta có $\angle BAE = \angle EAC = 30^\circ$, suy ra tam giác BAE là tam giác cân.
Do đó, ta có AD = BC.

Câu 3:
a) Ta có BD là tia phân giác góc ABC, nên $\angle ABD = \angle DBC$.
Vì DE vuông góc với BD, nên $\angle ABD = \angle DBE$.
Khi đó, ta có $\angle ABD = \angle DBE$ và $\angle DBC = \angle DBE$, suy ra tam giác ABD và tam giác DBE đồng dạng.
Từ đó, ta có $\angle ADB = \angle DEB$, suy ra BD là đường trung trực của AE.

b) Ta có $\angle ABD = \angle DBC$ (vì BD là tia phân giác góc ABC) và $\angle ADB = \angle DEB$ (vì tam giác ABD và tam giác DBE đồng dạng).
Do đó, tam giác ADB và tam giác DEB có hai góc bằng nhau, nên chúng đồng dạng.
Từ đó, ta có $\frac{DF}{DC} = \frac{AD}{BD} = 1$, suy ra DF = DC.

c) Ta có $\angle ABD = \angle DBC$ (vì BD là tia phân giác góc ABC) và $\angle ADB = \angle DEB$ (vì tam giác ABD và tam giác DBE đồng dạng).
Do đó, tam giác ADB và tam giác DEB có hai góc bằng nhau, nên chúng đồng dạng.
Từ đó, ta có $\frac{AD}{DC} = \frac{BD}{DE}$.
Vì BD là tia phân giác góc ABC, nên $\frac{BD}{DE} > 1$.
Do đó, $\frac{AD}{DC} > 1$, suy ra AD < DC.