Để tính BH, CH và AH, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông.

Theo định lý Pythagoras, trong tam giác vuông ABC có góc A = 90 độ, ta có:

AB^2 + AC^2 = BC^2

3^2 + 4^2 = BC^2

9 + 16 = BC^2

25 = BC^2

BC = √25

BC = 5 cm

Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH là đường cao của tam giác vuông ABC. Do đó, ta có:

AH^2 + BH^2 = AB^2

AH^2 + BH^2 = 3^2

AH^2 + BH^2 = 9

Vì AH cũng là đường cao của tam giác vuông ABC, nên AH cũng là đường cao của tam giác vuông ABH. Do đó, ta có:

AH^2 + BH^2 = AB^2

AH^2 + BH^2 = 3^2

AH^2 + BH^2 = 9

Vì AH cũng là đường cao của tam giác vuông ABC, nên AH cũng là đường cao của tam giác vuông ACH. Do đó, ta có:

AH^2 + CH^2 = AC^2

AH^2 + CH^2 = 4^2

AH^2 + CH^2 = 16

Từ ba phương trình trên, ta có hệ phương trình:

AH^2 + BH^2 = 9

AH^2 + CH^2 = 16

AH^2 + BH^2 + CH^2 = 25

Giải hệ phương trình trên, ta có:

AH^2 = 9 - BH^2

AH^2 = 16 - CH^2

9 - BH^2 + 16 - CH^2 = 25

25 - BH^2 - CH^2 = 25

-BH^2 - CH^2 = 0

BH^2 + CH^2 = 25

Từ đó, ta có:

BH^2 = 25 - CH^2

9 - BH^2 + 16 - CH^2 = 25

25 - BH^2 - CH^2 = 25

-BH^2 - CH^2 = 0

BH^2 + CH^2 = 25

25 - CH^2 - CH^2 = 25

-2CH^2 = 0

CH^2 = 0

CH = 0

Vậy, BH = 5 cm, CH = 0 cm và AH = 3 cm.