Để chứng minh BD là trung trực của AC, ta cần chứng minh hai điều kiện sau:

1. BD vuông góc với AC

2. BD chia AC thành hai phần bằng nhau

Đầu tiên, ta chứng minh điều kiện 1:

Giả sử góc ABC và góc ADC có cùng đỉnh B và cùng đỉnh D, và BD là phân giác của cả hai góc này.

Từ đó, ta có:

Góc ABD = Góc CBD (vì BD là phân giác của góc ABC)

Góc ADB = Góc CDB (vì BD là phân giác của góc ADC)

Từ hai phương trình trên, ta có:

Góc ABD + Góc ADB = Góc CBD + Góc CDB

Do đó, tổng hai góc ABD và ADB bằng tổng hai góc CBD và CDB.

Từ đó, ta suy ra:

Góc ABD = Góc CBD

Góc ADB = Góc CDB

Vậy, ta có:

Góc ABD = Góc CBD

Góc ADB = Góc CDB

Do đó, ta có:

Góc ABD = Góc CBD = Góc ADB = Góc CDB

Từ đó, ta suy ra:

BD vuông góc với AC

Đến đây, ta đã chứng minh được điều kiện 1.

Tiếp theo, ta chứng minh điều kiện 2:

Giả sử BD chia AC thành hai phần bằng nhau.

Từ đó, ta có:

AB = AD (vì BD là phân giác của góc ABC và ADC)

Từ đó, ta suy ra:

AB = AD

Do đó, ta có:

BD chia AC thành hai phần bằng nhau

Đến đây, ta đã chứng minh được điều kiện 2.

Vậy, từ việc chứng minh hai điều kiện trên, ta có thể kết luận rằng BD là trung trực của AC.