a) Chứng minh: Tứ giác ADMH là hình chữ nhật.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AM là đường cao của tam giác ABC. Do đó, AM là đường phân giác góc BAC.

Vì MD vuông góc với AB và MH vuông góc với AB, nên MD và MH là hai đường cao của tam giác ABC.

Vì AM là đường phân giác góc BAC và MD, MH là hai đường cao của tam giác ABC, nên AM cắt MD và MH tại điểm I, I là giao điểm của AM và DH.

Vì AM cắt MD tại điểm I và MD vuông góc với AB, nên I là trung điểm của AD.

Vì AM cắt MH tại điểm I và MH vuông góc với AB, nên I là trung điểm của AH.

Vậy, ta có AI = ID và AI = IH, nên tứ giác ADMH là hình chữ nhật.

b) Chứng minh: Tứ giác AMBE là hình thoi.

Vì E là trung điểm của MD, nên EM song song với AD và EM = MD.

Vì E là trung điểm của MD và MD vuông góc với AB, nên EM vuông góc với AB.

Vì EM song song với AD và EM vuông góc với AB, nên EM song song với AB.

Vậy, tứ giác AMBE là hình thoi.

c) Gọi I là giao điểm của AM và DH.

Ta cần chứng minh ba điểm C, I, E thẳng hàng.

Vì tứ giác ADMH là hình chữ nhật, nên AD song song với MH.

Vì E là trung điểm của MD, nên EM song song với AD.

Vì EM song song với AD và AD song song với MH, nên EM song song với MH.

Vậy, ba điểm C, I, E thẳng hàng.