1) Ta có tam giác ABC cân tại A, nên AH là đường cao và cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, ta có BH = CH.

2) Ta có tam giác ABC cân tại A, nên AH là đường cao và cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Khi đó, ta có AM = MC và AN = NB (do tam giác ABC cân). Từ đó, ta có AM = MC = NB = AN. Vậy tam giác AMN cân.

3) Ta cần chứng minh N, H, I thẳng hàng. Gọi K là giao điểm của MN và BC.

Ta có MH // AC (do HM vuông góc AB và AH vuông góc AC), nên theo định lí Thales, ta có:

$\frac{MP}{PC} = \frac{MH}{HA}$

Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên $\frac{MH}{HA} = \frac{MK}{KB}$ (do định lí Thales).

Tương tự, ta có $\frac{NQ}{QB} = \frac{NK}{KC}$.

Vậy ta có $\frac{MP}{PC} = \frac{MK}{KB}$ và $\frac{NQ}{QB} = \frac{NK}{KC}$.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng MN, ta có:

$\frac{MP}{PC} \cdot \frac{CK}{KB} \cdot \frac{BN}{NA} = 1$

$\frac{NQ}{QB} \cdot \frac{BK}{KC} \cdot \frac{CM}{MA} = 1$

Từ đó, ta có:

$\frac{MP}{PC} \cdot \frac{CK}{KB} \cdot \frac{BN}{NA} = \frac{NQ}{QB} \cdot \frac{BK}{KC} \cdot \frac{CM}{MA}$

Do đó, $\frac{MP}{PC} = \frac{NQ}{QB}$.

Vậy ta có $\frac{MP}{PC} = \frac{NQ}{QB}$ và $MH // AC$, nên theo định lí Thales, ta có MQ // PH.

Khi đó, ta có $\frac{PI}{IH} = \frac{MP}{PC} = \frac{NQ}{QB} = \frac{QI}{IH}$.

Do đó, ta có PI = QI. Vậy I là trung điểm của PQ.

Từ đó, ta có MN // PH (do MQ // PH) và MN // QI (do MQ // QI), nên ta có N, H, I thẳng hàng.