Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác cân và tam giác đồng dạng.

a) Ta có BD = DE, suy ra tam giác BDE là tam giác cân tại D. Vì tam giác ABC cân tại A, nên ta có góc ABD = góc ADB. Do đó, tam giác ABD cũng là tam giác cân tại A. Từ đó, ta có góc BDA = góc BAD.

Gọi góc BDA = góc BAD = x. Khi đó, góc BDM = góc MDA = 90 - x và góc CEN = góc NEA = 90 - x.

Ta có góc MDA + góc NEA = (90 - x) + (90 - x) = 180 - 2x. Vì góc MDA + góc NEA = 180 độ (do là góc trong tứ giác MNED), nên ta có 180 - 2x = 180, suy ra x = 0. Do đó, góc BDA = góc BAD = 0, tức là tam giác ABD là tam giác đều.

Vậy, ta có DM = DE = BD = BE. Do đó, câu a đúng.

b) Ta đã chứng minh được tam giác ABD là tam giác đều. Khi đó, góc BDA = góc BAD = 60 độ. Vì góc BDM = góc MDA = 90 - x = 90 - 0 = 90 độ, nên góc BDM = 90 - 60 = 30 độ.

Tương tự, ta có góc CEN = góc NEA = 30 độ. Vì góc CEN = góc NEA = 30 độ và góc CEN + góc NEA = 180 độ (do là góc trong tứ giác MNED), nên ta có góc CEN = góc NEA = 30 độ.

Do đó, góc CEA = góc CEN + góc NEA = 30 + 30 = 60 độ. Vậy, tam giác ACE là tam giác đều.

Khi đó, ta có AM = AB = AC và AN = AE = AC. Vì AM = AN và AE = AC, nên ta có MN // EC.

Do đó, góc MNI = góc CEA = 60 độ. Vì góc MNI = góc CEA = 60 độ và góc MNI + góc CEA = 180 độ (do là góc trong tứ giác MNIE), nên ta có góc MNI = góc CEA = 60 độ.

Vậy, ta có góc MNI = góc CEA = 60 độ. Do đó, tam giác MNI là tam giác đều.

Vậy, ta có I là trung điểm của MN. Câu b đúng.

c) Ta đã chứng minh được tam giác ABD là tam giác đều. Khi đó, góc BDA = góc BAD = 60 độ. Vì góc BDA = góc BAD = 60 độ, nên tam giác ABD là tam giác đều.

Gọi góc BAC = y. Khi đó, góc BAO = góc CAO = y/2 (do O là trung điểm của cung nhỏ BC trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

Vì tam giác ABD là tam giác đều, nên góc ADB = góc BAD = 60 độ. Vậy, góc ADO = 180 - góc ADB = 180 - 60 = 120 độ.

Vì góc ADO = 120 độ và góc ADO = góc CAO = y/2, nên góc CAO = 120 độ.

Vậy, tam giác AOB = tam giác AOC. Câu c đúng.

d) Ta đã chứng minh được tam giác ABD là tam giác đều. Khi đó, góc BDA = góc BAD = 60 độ.

Vì góc BDA = góc BAD = 60 độ, nên tam giác ABD là tam giác đều. Do đó, góc ADB = góc BAD = 60 độ.

Vì góc ADB = góc BAD = 60 độ và góc ADB + góc BAD = 180 độ (do là góc trong tam giác ABD), nên ta có góc ADB = góc BAD = 60 độ.

Vậy, tam giác ADB là tam giác đều. Do đó, góc ADO = 180 - góc ADB = 180 - 60 = 120 độ.

Vì góc ADO = 120 độ, nên OC vuông góc với AN. Câu d đúng.

Vậy, ta đã chứng minh được các câu a, b, c, d đều đúng.