Để chứng minh rằng trong một tứ giác, nửa chu vi nhỏ hơn tổng hai đường chéo và tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi, ta có thể sử dụng định lý tam giác.

Gọi ABCD là một tứ giác có đường chéo AC và BD. Ta cần chứng minh rằng nửa chu vi của tứ giác ABCD nhỏ hơn tổng hai đường chéo và tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi.

Áp dụng định lý tam giác trong tam giác ABC, ta có:
AC < AB + BC (1)

Áp dụng định lý tam giác trong tam giác ACD, ta có:
AC < AD + DC (2)

Cộng hai bất đẳng thức (1) và (2), ta được:
2AC < (AB + BC) + (AD + DC)
2AC < AB + BC + AD + DC

Như vậy, tổng hai đường chéo AC và BD nhỏ hơn tổng các cạnh AB, BC, AD, DC.

Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng nửa chu vi của tứ giác ABCD nhỏ hơn tổng hai đường chéo.

Gọi P là điểm trung điểm của đường chéo AC và Q là điểm trung điểm của đường chéo BD. Ta có:

AP = \frac{1}{2} AC
BQ = \frac{1}{2} BD

Áp dụng định lý tam giác trong tam giác APB, ta có:
AP < AB + BP (3)

Áp dụng định lý tam giác trong tam giác BQC, ta có:
BQ < BC + CQ (4)

Cộng hai bất đẳng thức (3) và (4), ta được:
AP + BQ < AB + BP + BC + CQ

Như vậy, nửa chu vi của tứ giác ABCD nhỏ hơn tổng hai đường chéo AC và BD.

Tóm lại, trong một tứ giác, nửa chu vi nhỏ hơn tổng hai đường chéo và tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi.