Để chứng minh BC = 2DE, ta cần chứng minh hai tam giác ABC và ADE đồng dạng và tỉ lệ đồng dạng là 1:2.

Đầu tiên, ta có góc A = 60°, vì vậy góc B và góc C phải là 60°.

Giả sử đường cao AD cắt BC tại H. Ta cần chứng minh DE = EH.

Do tam giác ABC là tam giác đều, nên AH = BH = CH.

Ta có góc A = 60°, góc B = 60°, nên góc HAB = góc HBA = 30°.

Do đó, tam giác AHB là tam giác cân, nên góc HAB = góc HBA = 30°.

Tương tự, ta có góc HAC = góc HCA = 30°.

Do đó, tam giác AHC cũng là tam giác cân, nên góc HAC = góc HCA = 30°.

Vậy ta có tam giác AHB và tam giác AHC là tam giác đều.

Do đó, AH = BH = CH.

Ta có DE là đường cao của tam giác ABC, nên DE vuông góc với BC.

Ta có AH = BH = CH, nên DE cũng là đường cao của tam giác AHB và tam giác AHC.

Vậy DE vuông góc với AB và AC.

Do đó, tam giác ADE là tam giác vuông tại D.

Ta có góc A = 60°, góc D = 90°, nên góc ADE = 30°.

Tương tự, ta có góc A = 60°, góc E = 90°, nên góc AED = 30°.

Do đó, tam giác ADE là tam giác cân.

Ta có DE = EH (vì tam giác ADE là tam giác cân).

Vậy ta đã chứng minh được BC = 2DE.