a, Ta có AN = AM và góc MAN = góc NAM = 90 độ (do tam giác ABC vuông tại A), nên tam giác MAN là tam giác vuông cân. Khi đó, ta có góc MND = góc NMD = 45 độ (do MN cắt BC ở D).

b, Ta có góc NAM = góc MAN = 90 độ (do tam giác ABC vuông tại A) và góc NAB = góc MAB (do AN = AM), nên tam giác NAB và tam giác MAB là hai tam giác cân. Khi đó, ta có góc NAC = góc MAC và góc NCA = góc MCA. Vì NB là tia đối của AC, nên góc NCB = góc MCB. Từ đó, ta có góc NCB = góc MCB = góc MNC = 45 độ (do tam giác MAN là tam giác vuông cân). Vậy CM vuông góc với NB.

c, Gọi góc ABE = x. Khi đó, góc BAE = 180 - góc ABE = 180 - x. Vì tam giác ABE là tam giác cân (do AF = AE), nên góc BAE = góc BEA = (180 - x)/2 = 90 - x/2.

Gọi góc BFI = y. Ta có góc BFC = 180 - góc FBC - góc BCF = 180 - (90 - x/2) - y = 90 + x/2 - y.

Vì FC là trung trực của EI, nên góc BFC = góc BFI = y.

Từ đó, ta có 90 + x/2 - y = y. Giải phương trình này, ta có x/2 = 2y - 90.

Vậy góc BFI = y = (x + 180)/4.