Để tìm đa thức với hệ số nguyên có nghiệm là x = √2 + ³√2, ta sử dụng tính chất của nghiệm đối với đa thức.

Vì x = √2 + ³√2 là nghiệm, ta có:
(x - √2 - ³√2) = 0

Ta biểu diễn √2 và ³√2 dưới dạng các nghiệm của chúng:
√2 = x₁
³√2 = x₂

Vậy, ta có:
(x - x₁ - x₂) = 0

Để đa thức có hệ số nguyên, ta cần tìm đa thức có hệ số nguyên có nghiệm là x₁ và x₂.

Ta biết rằng nếu a và b là nghiệm của đa thức, thì (x - a)(x - b) cũng là nghiệm của đa thức.

Vậy, ta có thể tạo ra một đa thức có nghiệm là x₁ và x₂ bằng cách nhân các đa thức có nghiệm là x - x₁ và x - x₂.

(x - x₁)(x - x₂) = 0

(x - √2)(x - ³√2) = 0

(x - √2)(x - √2)(x - √2) = 0

(x - √2)³ = 0

(x - √2)³ = (x - √2)(x - √2)(x - √2)

(x - √2)³ = (x² - 2√2x + 2)(x - √2)

(x - √2)³ = x³ - √2x² - 2√2x² + 4x - 2√2x + 2

(x - √2)³ = x³ - 4√2x² + 2x + 2

Vậy, đa thức có hệ số nguyên với nghiệm là x = √2 + ³√2 là:
x³ - 4√2x² + 2x + 2