a) Ta có OB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc OBA = 90°. Tương tự, góc OCA = 90°. Vậy tứ giác OBAC nội tiếp.

Ta có OA = 3R và OB = OC = R (vì OB, OC là bán kính của đường tròn (O)). Vậy tứ giác OABC là tứ giác vuông tại O. Do đó, OA vuông góc với BC.

b) Ta có AB // CD (vì AB và CD là hai tiếp tuyến của đường tròn (O)). Vậy góc BCD = góc BAC (do AB // CD và ABAC là tứ giác nội tiếp).

Tương tự, góc BDC = góc BAC. Vậy tứ giác BACD là tứ giác cân tại B.

Do đó, BD là đường trung bình của tam giác ABC. Vậy ta có:

AD = 2BD = 2R (vì BD = R)

AE = 2AD = 4R (vì AD = 2R)

Tích AD.AE = 2R * 4R = 8R^2.

c) Ta có AB // CD và BE là đường chéo của tứ giác ABCD nên theo định lí Thales, ta có:

AF/FC = AB/CD = AB/AB = 1.

Vậy F là trung điểm của AC.